Fractalii, o galerie a „monştrilor” devenită muzeu de ştiinţă

De la studii teoretice la grafica pe calculator, forme neregulate, repetitive și frînte și-au trasat o cale în zig-zag de-a lungul istoriei, atrăgînd mintea umană și dezlănțuind valuri de inovații în domenii din cele mai diverse. Privite inițial ca un exercițiu de imaginație oarecare și etichetate mai apoi drept „monștri”, aceste forme geometrice au fost, pe rînd, abandonate în sertarul matematicii și-apoi readuse în atenția tuturor, sub denumirea de fractali. Pot fi descoperiți în ritmul bătăilor inimii, în traiectoriile corpurilor cerești și peste tot, în natură.

Fractalii sînt figuri geometrice fragmentate sau frînte care pot fi divizate în părți, în așa fel încît fi­e­care dintre acestea să fie, cel pu­țin aproximativ, o copie mini­atu­ra­lă a întregului. Matematica din spatele acestora s-a făcut cunos­cu­tă în jurul secolului al XVII-lea, cînd matematicianul și filozoful Gott­fried Leibniz a observat auto-similaritatea repetitivă (n.r. proprietate potrivit căreia părți dintr-un ansamblu sînt identice cu întregul).
O revoluție a ideilor separă ma­­tematica clasică a secolului al XIX-lea, de matematica modernă a secolului XX: cea care începe cu te­o­ria seriilor lui Cantor și curbele lui Peano. Revoluția este forțată de descoperirea unor modele mate-matice, diferite de cele clasice, eu­clidiene și newtoniene. Formele geo­metrice descoperite de primii teoreticieni ai fractalilor, în a doua par­te a secolului al XIX-lea și înce­pu­tul secolului al XX-lea, au fost considerate „patologice”, o „ galerie a mon­ștri­lor ”: curbe înrudite cu pic­tura cubistă sau muzica atonală, ca­re de­ranjau deja formele de artă tradi­țio­nale. Au fost, așadar, ignorate.

Natura formată din linii frînte

Cel care înțelege că fractalii nu sînt doar un exercițiu de ima­gi­na­ție, ci fac parte din natură, unde sînt răspîndiți peste tot, a fost Be­noit Mandelbrot. El observă că mun­­­ții nu au forma unui con sau a unei piramide, că un trunchi de co­pac căptușit cu scoarță nu este un cilindru perfect neted, iar norii nu sînt sfere. Natura le juca o festă ma­tematicienilor secolului al XIX-lea: ea nu era doar o planșă cu for­me geometrice simple, ci o mache­tă cu forme complexe și neregulate ce așteptau să fie botezate. Ast­fel, în 1975, Mandelbrot inven­tea­ză cu­vîntul fractal, inspirat de un ad­jec­tiv latinesc – „fractus”, al că­rui verb corespondent era „fran­ge­re” și însemna „a sparge ” sau „a frac­tu­ra ”, referindu-se la o for­mă geo­me­trică cu proprietatea că poa­te fi divizată în mai multe părți, astfel încît fiecare parte, luată în­de­a­proa­pe și studiată minuțios, să fie o copie miniaturală a întregului. A ilustrat această definiție mate­matică cu imagini construite pe calculator, cu ajutorului formulei „ x2+c ”, captînd atenția și im­pu­nînd definitiv acest termen.

Primele modele de fractali

Curba Koch, numită după ma­tematicianul suedez Niels Fa­bi­an Helge von Koch, este cunos­cu­tă ca fiind primul fractal și are for­ma unui fulg de zăpadă. Se poate ob­ține desenînd un triunghi echilateral și adăugînd pe fiecare la­tu­ră a acestuia un altul, procesul re­petîndu-se de mai multe ori. Orice parte a curbei, mărită, va reproduce întregul. Curba lui Koch are un paradox interesant, cu fiecare triunghi adăugat la figura cen­tra­lă, crește lungimea liniei, deși aria interioară a curbei va fi mai mică decît aria unui cerc desenat în ju­rul primului triunghi: este o linie de lungime infinită ce înconjoară o zonă fi­ni­tă.

Triunghiul lui Sier­pis­ki, un alt fractal fai­mos, este numit după ma­te­ma­ti­cianul polonez Waclaw Sierpiski. Aces­ta a pornit de la un triunghi pe care l-a divizat în pa­tru părți egale. Apoi, a divizat cele trei părți marginale în același fel, continuând procesul la infinit. Pra­ful lui Can­tor sau discontinuul lui Can­tor este fractalul pe care ma­te­ma­ticianul german Georg Cantor l-a descoperit luînd un segment și îm­părțindu-l în trei părți egale, sco­­țînd mai apoi partea din mijloc și continuînd procesul pentru fie­ca­re dintre segmentele rămase, pînă la infinit.

Arta fractală este o formă de artă algoritmică ce folosește fractalii și reprezentările computerizate pentru crearea de imagini, a­ni­mații sau muzică, făcîndu-se cu­noscută pe la mijlocul anilor ’80. Se­tul Julia și mulțimea Man­del­brot sînt considerate simboluri ale a­ces­tui tip de artă. Artistul britanic William Latham a folosit geometria fractală în operele sale. Greg Sams a creat cărți poștale și trico­uri, fo­losind fractalii. Reginald Ar­ki­ns creează artă frac­tală pen­tru re­lax­are. Ar­tistul a­merican Vicky Brago-Mitchell a folosit arta frac­ta­­lă în expoziții și pe copertele re­vis­telor. Car-los Ginzburg a de­fi­nit con­ceptul de „homo fracta­lus”, po­trivit că­ru­ia omul este cel mai re­pre­zentativ exemplu de frac­tal. Arhitectul spaniol Xa­vi­er Vilalta folosește geometria frac­tală pentru a aduce inovații în mo­dul în care se construiesc clă­di­rile ecologice.

Invadînd teritoriul științelor exacte și spațiul de lucru al ar­tiș­tilor grafici, liniile frînte și-au croit calea chiar și în literatură. Ro­ma­nul „Orbitor” al scriitorului Mir­cea Cărtărescu explorează cu pre­că­de­re această noțiune, autorul prezentîndu-l pe Mendebil ca fiind un personaj bizar, pasionat de tot fe­lul de lucruri inexplicabile şi mis­terioase, care-i ațîță curiozita­tea lui Mircea, pro­tagonistul ro­ma­nului. Per­sonaj comparat cu Man­delbrot, Men­de­bi­lul este pri­ma per­soană care îi vor­beș­te lui Mircea despre liniile frînte, repetitive. Supuse u­nei analize ri­gu­roa­se, prin­cipalele spații ale ro­manului arată că „Orbitor” poate fi pus sub semnul unei așa-zise „ lumi frac­talice ”, căreia orice modificare ai încerca să-i aduci, ai regăsi-o la fel.

Crucea Roșie, în zig-zag

Fractalii dezvăluie o paletă lar­gă de modele vizuale fascinante, multe dintre acestea avînd a­pli­cații științifice și practice. S-au do­vedit extrem de u­tili în stu­di­erea înmulțirii unor organisme ma­rine, cum sînt coralii și bureții de mare, noțiunea de di­men­siune frac­țio­na­ră fiind folosită în scopul cla­si­fi­cării for­melelor de corali. De ase­menea, în medicină există a­pli­cații ce se fo­losesc în modelarea ac­ti­vității cre­ie­rului, iar fizicienii ma­nifestă un interes deosebit pentru a­ceștia din moment ce mo­de­lea­ză fenomene haotice cum ar fi miș­ca­rea plane­te­lor, absorbția me­di­ca­mentelor, cur­gerea lichidelor sau vi­brația a­ripilor avioanelor, unde un comportament haotic pro­­duce structuri fractale.

Curbele lui Peano sau „curbele care umplu spațiul” par, la prima vedere, un grup de arbuști înră­dă­cinați unul lîngă altul. O primă ast­­fel de curbă a fost descoperită în 1890 de un matematician italian pe numele său, Giussepe Peano. A­se­mănate de Mandelbroit cu un mă­nunchi de rîuri șerpuind, acestea sînt create printr-un proces in­te­rac­tiv ce produce o curbă în zig-zag, care acoperă întreg spa­țiul în care se află. Curbele Peano au fost folosite pentru realizarea unui sistem eficient de distribuție a alimentelor pentru o organizație care livra produse oamenilor să­raci, dar și pentru crearea unui sistem de distribuție a sîngelui de către Cru­cea Roșie unor spitale. Ge­o­me­tria fractală este un alt e­xemplu de anomalie istorică.

Ig­no­rată pentru că nu se încadra în vechile tipare ale matematicii clasice și etichetată drept o galerie a monștrilor, aceasta a readus prin Man­delbrot, liniile fragmentate și re­petitive, în spec­trul vizual al tu­tu­ror. Calea frac­talilor este una la­bi­rintică, se pare: liniile frînte sînt plimbate dintr-un domeniu în al­tul, trasînd conturul a noi proiecte și idei, într-un proces continuu. Cum ar fi ca orice rînd ai citi din articol, acela să re­pro­ducă întregul text?